{"id":2045,"date":"2024-07-04T12:43:26","date_gmt":"2024-07-04T10:43:26","guid":{"rendered":"https:\/\/reach.ircam.fr\/?p=2045"},"modified":"2024-07-08T13:07:36","modified_gmt":"2024-07-08T11:07:36","slug":"maths-musique-3-musique-combinatoire-des-mots-et-improvisation-par-ordinateur-par-marc-chemillier","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/2024\/07\/04\/maths-musique-3-musique-combinatoire-des-mots-et-improvisation-par-ordinateur-par-marc-chemillier\/","title":{"rendered":"Maths & Musique #3 : Musique, combinatoire des mots et improvisation par ordinateur, par Marc Chemillier"},"content":{"rendered":"\t\t
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Lire la publication originale.<\/a><\/p>

Par Marc Chemillier, Directeur d’\u00e9tudes de l’EHESS<\/p>

La musique entretient depuis toujours des liens \u00e9troits avec les math\u00e9matiques. Les pythagoriciens \u00e0 partir du Ve<\/sup>\u00a0si\u00e8cle avant J.-C. commencent \u00e0 s’int\u00e9resser aux rapports entre la musique et les nombres.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Beaucoup plus proche de nous, Joseph Fourier (1768-1830) jette les bases de l’analyse harmonique en \u00e9tudiant certains signaux p\u00e9riodiques tels que les ondes sonores. Au XXe<\/sup>\u00a0si\u00e8cle, le d\u00e9veloppement de l’informatique a introduit un champ compl\u00e8tement nouveau d’\u00e9tude math\u00e9matique de la musique avec des concepts tr\u00e8s puissants, tels que ceux de la combinatoire des mots dont nous allons parler ici. Ces derniers permettent de concevoir des logiciels musicaux modifiant radicalement notre mani\u00e8re de faire de la musique.<\/p>

En informatique th\u00e9orique, on \u00e9tudie des suites de symboles appel\u00e9es des mots sur un alphabet. Il s’agit de symboles abstraits qui peuvent \u00eatre des actions \u00e0 ex\u00e9cuter dans un programme quand il s’agit d’informatique, mais aussi des notes de musique ou tout autre objet selon le domaine d’application \u00e9tudi\u00e9. Ce concept est bien adapt\u00e9 \u00e0 la description de la succession d’\u00e9v\u00e9nements \u00e0 l’int\u00e9rieur d’une s\u00e9quence musicale, de m\u00eame qu’il l’est pour d\u00e9crire et contr\u00f4ler l’encha\u00eenement d’unit\u00e9s syntaxiques d’une langue dans une perspective de linguistique computationnelle.<\/p>

Lorsque l’on s’int\u00e9resse \u00e0 des s\u00e9quences de symboles, l’une des choses les plus simples que l’on puisse envisager est la r\u00e9p\u00e9tition d’\u00e9l\u00e9ments dans la s\u00e9quence. Par exemple, un \u00ab\u00a0carr\u00e9\u00a0\u00bb est la r\u00e9p\u00e9tition d’un motif \u00e9nonc\u00e9 deux fois cons\u00e9cutivement comme (abc<\/em>)(abc<\/em>). Peut-on construire une s\u00e9quence avec un alphabet \u00e0 deux lettres\u00a0a<\/em>\u00a0et\u00a0b<\/em>\u00a0qui ne contienne aucun carr\u00e9\u00a0? On commence par placer un\u00a0a<\/em>. On ne peut pas en placer un deuxi\u00e8me car on aurait le carr\u00e9 (a<\/em>)(a<\/em>), donc on place un\u00a0b<\/em>\u00a0pour former\u00a0ab<\/em>. Ensuite, on est oblig\u00e9 de placer un\u00a0a<\/em>\u00a0pour former\u00a0aba<\/em>, sinon on aurait le carr\u00e9 (b<\/em>)(b<\/em>). On ne peut pas prolonger\u00a0aba<\/em>\u00a0car si on place un\u00a0a<\/em>\u00a0on fait appara\u00eetre le carr\u00e9 (a<\/em>)(a<\/em>), et si on place un\u00a0b<\/em>, on fait appara\u00eetre le carr\u00e9 (ab<\/em>)(ab<\/em>). On vient de prouver qu\u2019il est impossible de construire un mot sans carr\u00e9 si l’alphabet n’a que deux lettres. En revanche, cela est possible d\u00e8s que l’alphabet a au moins trois lettres. Avec deux lettres, on peut construire des mots sans cube (c’est-\u00e0-dire sans motif \u00e9nonc\u00e9 trois fois cons\u00e9cutivement). Le math\u00e9maticien norv\u00e9gien Axel Thue (1863-1922) en a d\u00e9couvert un qui se prolonge \u00e0 l’infini. Il le d\u00e9crit dans un article de 1912 consid\u00e9r\u00e9 comme le fondement de la combinatoire des mots avec un autre article de lui datant de 1906.<\/p>

En musique, quand on fait se succ\u00e9der une \u00e0 une toutes les notes disponibles, en montant ou en descendant, on obtient ce que l’on appelle une gamme. Par exemple, la succession des touches blanches du piano est la gamme\u00a0diatonique<\/em>\u00a0(partant de la note\u00a0do<\/em>). Elle a des propri\u00e9t\u00e9s math\u00e9matiques tr\u00e8s particuli\u00e8res, li\u00e9es au fait que les touches noires qui s\u00e9parent les touches blanches sont plac\u00e9es de fa\u00e7on irr\u00e9guli\u00e8re, deux d’un c\u00f4t\u00e9 et trois de l’autre. En effet, si l’on consid\u00e8re les intervalles entre les touches blanches, on a deux demi-tons entre\u00a0do<\/em>\u00a0et\u00a0r\u00e9<\/em>, puis deux demi-tons entre\u00a0r\u00e9<\/em>\u00a0et\u00a0mi<\/em>, mais seulement un demi-ton entre\u00a0mi<\/em>\u00a0et\u00a0fa<\/em>. Sur l’ensemble des touches blanches du clavier, on obtient la s\u00e9quence d’intervalles 2212221 qui est un mot sur l’alphabet \u00e0 deux symboles 1 et 2. Ce mot a la propri\u00e9t\u00e9 remarquable suivante\u00a0: il existe une rotation 2221221 qui est palindrome si l’on enl\u00e8ve ses deux symboles initial et final 2(22122)1. En effet, le motif entre parenth\u00e8ses 22122 donne la m\u00eame succession de chiffres dans un sens ou dans l’autre.<\/p>

Ce qui est encore plus surprenant, c’est qu’on obtient une propri\u00e9t\u00e9 similaire en prenant les touches compl\u00e9mentaires, c’est-\u00e0-dire celles qui sont noires. La suite d’intervalles de la gamme correspondante appel\u00e9e\u00a0pentatonique<\/em>\u00a0est le mot 23223 sur l’alphabet 2 et 3. L\u00e0 encore, il existe une rotation 22323 qui est palindrome, except\u00e9s les premier et dernier symboles 2(232)3. Mais ce n’est pas tout\u00a0: le m\u00eame ph\u00e9nom\u00e8ne s’observe \u00e9galement dans le rythme. Vous connaissez sans doute la chanson\u00a0\u00ab\u00a0Djadja\u00a0\u00bb d’Aya Nakamura<\/a>. Elle est fond\u00e9e sur un rythme appel\u00e9 reggaeton tr\u00e8s courant dans les musiques populaires actuelles qui peut s’\u00e9crire 332 (deux croches point\u00e9es suivies d’une croche). C’est aussi le rythme du rap \u00ab\u00a0Bande organis\u00e9e\u00a0\u00bb. Il vient d’une famille de rythmes africains asym\u00e9triques qui ont \u00e9t\u00e9 \u00e9tudi\u00e9s par l’ethnomusicologue Simha Arom 332, 32322, 3223222, etc. Qu’y a-t-il de commun entre ces diff\u00e9rents rythmes\u00a0? Ils s’\u00e9crivent tous 32n<\/sup><\/em>32n<\/sup><\/em>+1<\/sup>\u00a0si l’on note 2n<\/sup><\/em>\u00a0la suite de 2 r\u00e9p\u00e9t\u00e9s\u00a0n<\/em>\u00a0fois. Ils contiennent un tr\u00e8s long carr\u00e9 (32n<\/sup><\/em>)(32n<\/sup><\/em>), mais leur r\u00e9partition est asym\u00e9trique car on a un 2 en plus \u00e0 droite qui prolonge la deuxi\u00e8me occurrence du carr\u00e9.<\/em>\u00a0Tous ces mots sont palindromes quand on enl\u00e8ve les deux symboles aux extr\u00e9mit\u00e9s 3(2n<\/sup><\/em>32n<\/sup><\/em>)2.<\/p>

En math\u00e9matique, ces rythmes ou ces gammes sont en relation avec ce qu’on appelle des mots de Christoffel en l’honneur du math\u00e9maticien Elwin Christoffel (1829-1900) qui les a \u00e9tudi\u00e9s pour la premi\u00e8re fois dans un article de 1875 o\u00f9 il observe leur caract\u00e8re palindrome. Il est \u00e9tonnant de retrouver ces s\u00e9quences dans des domaines aussi vari\u00e9s que les gammes occidentales ou les rythmes africains, d’autant plus que ces derniers rel\u00e8vent d’une tradition strictement orale. L’\u00e9tude de telles structures \u00e9chappant \u00e0 l’\u00e9criture est le sujet de recherches en ethnomath\u00e9matique. Deux approches s’opposent dans ce domaine. L’une, issue du courant appel\u00e9 d\u00e9colonisation des savoirs, consid\u00e8re qu’on ne peut pas rapprocher ces structures de celles de la tradition \u00e9crite parce qu’elles apparaissent dans des contextes trop diff\u00e9rents. L’autre plus universaliste consid\u00e8re que ce sont bien les m\u00eames structures qui apparaissent parce que les principes combinatoires sur lesquels elles sont fond\u00e9es sont les m\u00eames, qu’il s’agisse d’alternance d’intervalles dans la gamme, ou de dur\u00e9es dans les rythmes. C’est ce deuxi\u00e8me point de vue qui est adopt\u00e9 dans le pr\u00e9sent article.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Figure 1. Les mots de Christoffel codent les d\u00e9placements permettant d'approximer une droite par des pixels. Le rythme 3223222 correspond au mot de Christoffel de la droite de pente 5\/2.<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t
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Venons-en maintenant aux logiciels de cr\u00e9ation musicale dont on a parl\u00e9 au d\u00e9but. L’une des r\u00e9volutions de l’intelligence artificielle ces derni\u00e8res d\u00e9cennies est le d\u00e9veloppement des algorithmes d’apprentissage automatique. En musique, un ordinateur peut capter le jeu d’un musicien et ensuite, \u00e0 partir de ces donn\u00e9es, cr\u00e9er de la musique tout seul.\u00a0 L’une des raisons de ce prodige vient de ce que les donn\u00e9es enregistr\u00e9es contiennent d\u00e9j\u00e0 \u00e9norm\u00e9ment de connaissances musicales implicites telles que le phras\u00e9 de la musicienne ou du musicien, son timbre, son articulation, son expression. Une situation analogue \u00e9tait apparue avec le sampling, qui permettait de recycler dans la cr\u00e9ation musicale des fragments musicaux d\u00e9j\u00e0 eux-m\u00eames tr\u00e8s \u00e9labor\u00e9s. Mais avec l’intelligence artificielle fond\u00e9e sur l’apprentissage, ce ph\u00e9nom\u00e8ne est d\u00e9cupl\u00e9 par sa dimension g\u00e9n\u00e9rative.<\/p>

Les mod\u00e8les les plus \u00e9tudi\u00e9s actuellement sont ceux de l’apprentissage profond \u00e0 base de r\u00e9seaux connexionnistes, mais d’autres mod\u00e8les symboliques plus simples, et moins co\u00fbteux en ressources de calcul, peuvent s’av\u00e9rer extr\u00eamement performants. L’un des premiers mod\u00e8les g\u00e9n\u00e9ratifs bas\u00e9 sur les probabilit\u00e9s de transition a \u00e9t\u00e9 introduit en 1913 par Andre\u00ef Markov (1856-1922) \u00e0 propos d’une \u00e9tude statistique sur un texte litt\u00e9raire.<\/p>

Prenons l’exemple de la s\u00e9quence\u00a0abracadabra<\/em>. Le\u00a0a<\/em>\u00a0peut \u00eatre suivi de trois lettres\u00a0b<\/em>,\u00a0c<\/em>\u00a0ou\u00a0d<\/em>, mais il a plus de chances d’\u00eatre suivi de\u00a0b<\/em>\u00a0que des deux autres. D’un autre c\u00f4t\u00e9,\u00a0r<\/em>,\u00a0c<\/em>\u00a0et\u00a0d<\/em>\u00a0sont toujours suivis de\u00a0a<\/em>, et le\u00a0b<\/em>\u00a0est toujours suivi de\u00a0r<\/em>. Si l’on g\u00e9n\u00e8re un nouveau mot en effectuant des tirages al\u00e9atoires selon ces r\u00e8gles pond\u00e9r\u00e9es, le r\u00e9sultat sera limit\u00e9 \u00e0 des permutations des syllabes\u00a0bra<\/em>,\u00a0ca<\/em>\u00a0et\u00a0da<\/em>. Ainsi, la capacit\u00e9 g\u00e9n\u00e9rative des donn\u00e9es d’apprentissage d\u00e9pend des r\u00e9p\u00e9titions qu’elles contiennent, c’est-\u00e0-dire de leur redondance. On retrouve l’id\u00e9e de r\u00e9p\u00e9tition dans les mots d\u00e9velopp\u00e9s pr\u00e9c\u00e9demment \u00e0 propos de la combinatoire des mots. Certains mots autorisent plus de variantes g\u00e9n\u00e9ratives que d’autres. Ces techniques d’apprentissage sont utilis\u00e9es dans des logiciels pour l’improvisation musicale d\u00e9velopp\u00e9s dans le cadre du projet\u00a0ERC REACH<\/a>\u00a0(IRCAM<\/a>\u00a0et\u00a0CAMS<\/a>) dirig\u00e9 par G\u00e9rard Assayag. Dans ces applications musicales, les lettres formant les mots peuvent \u00eatre des tranches de signal (entre 2 dates en millisecondes) associ\u00e9s \u00e0 diff\u00e9rentes m\u00e9tadonn\u00e9es (harmoniques par exemple). Elles permettent de capter le jeu d’une musicienne ou d\u2019un musicien et de cr\u00e9er une sorte de double informatique qui peut dialoguer en direct avec cette musicienne ou ce musicien. L’ordinateur peut \u00e9galement improviser \u00e0 partir de larges bases de donn\u00e9es de solos de grands ma\u00eetres de l’improvisation et jouer dans leur style, ou bien hybrider plusieurs styles entre eux.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Figure 2 : Bernard Lubat au piano joue avec l'intelligence artificielle Djazz pilot\u00e9e par Marc Chemillier \u00e0 l'aide d'une bague et d'une application sur smartphone, et qui a pr\u00e9alablement capt\u00e9 Bernard Lubat jouant de la batterie, spectacle \u00ab Je est un autre \u00bb, festival Allez savoir (EHESS), Marseille, 27 septembre 2024 (\u00a9 H\u00e9l\u00e8ne Chemillier-Armani)<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t
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L’un des logiciels d’improvisation sur lequel nous travaillons, appel\u00e9\u00a0Djazz<\/a>, est utilis\u00e9 pour explorer la question suivante\u00a0: un syst\u00e8me d’intelligence artificielle peut-il apprendre \u00e0 jouer dans le style musical d’une culture donn\u00e9e au point d’\u00eatre capable de s’int\u00e9grer dans un orchestre ou un rituel local\u00a0? C’est possible avec Djazz, car le logiciel effectue un apprentissage supervis\u00e9 qualifi\u00e9 d’agnostique, c’est-\u00e0-dire qu’il ne fait pas d’hypoth\u00e8se a priori sur les connaissances musicales mises en \u0153uvre \u2013 \u00e0 part quelques hypoth\u00e8ses tr\u00e8s simples, comme l’existence d’une pulsation r\u00e9guli\u00e8re (n\u00e9cessaire pour les musiques de danse par exemple). Nous avons utilis\u00e9 Djazz dans diff\u00e9rents contextes et l’id\u00e9e que le logiciel peut apprendre \u00e0 jouer dans le style d’une musicienne ou d\u2019un musicien a pris une r\u00e9sonance particuli\u00e8re. En effet, l’un des musiciens avec lequel nous avons travaill\u00e9 \u00e0 Madagascar, Velonjoro, est d\u00e9c\u00e9d\u00e9 en 2017. Mais en 2022, un autre grand musicien malgache Justin Vali a eu envie de jouer en duo avec lui. Cela a \u00e9t\u00e9 possible virtuellement gr\u00e2ce aux donn\u00e9es de jeu de Velonjoro conserv\u00e9es dans l’ordinateur.<\/p>\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t

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Duo virtuel du cithariste malgache Justin Vali avec Velonjoro via le logiciel Djazz pilot\u00e9 par Marc Chemillier, f\u00e9vrier 2023 (lien vid\u00e9o: https:\/\/www.youtube.com\/watch?v=oZofSI8gWHg) (\u00a9 Yuri Prado).<\/figcaption>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/figure>\n\t\t\t\t\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/div>\n\t\t\t\t\t<\/div>\n\t\t<\/section>\n\t\t\t\t<\/div>\n\t\t","protected":false},"excerpt":{"rendered":"

Lire la publication originale. Par Marc Chemillier, Directeur d’\u00e9tudes de l’EHESS La musique entretient depuis toujours des liens \u00e9troits avec les math\u00e9matiques. Les pythagoriciens \u00e0 partir du Ve\u00a0si\u00e8cle avant J.-C. commencent \u00e0 s’int\u00e9resser aux rapports entre la musique et les nombres. Beaucoup plus proche de nous, Joseph Fourier (1768-1830) jette les bases de l’analyse harmonique […]<\/p>\n","protected":false},"author":2,"featured_media":2047,"comment_status":"open","ping_status":"open","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[46],"tags":[],"class_list":["post-2045","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-publications-research"],"aioseo_notices":[],"blog_post_layout_featured_media_urls":{"thumbnail":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3-150x150.png",150,150,true],"full":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3.png",290,290,false]},"categories_names":{"46":{"name":"Publications","link":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/category\/research\/publications-research\/"}},"tags_names":[],"comments_number":"0","wpmagazine_modules_lite_featured_media_urls":{"thumbnail":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3-150x150.png",150,150,true],"cvmm-medium":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3.png",290,290,false],"cvmm-medium-plus":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3-290x207.png",290,207,true],"cvmm-portrait":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3.png",290,290,false],"cvmm-medium-square":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3.png",290,290,false],"cvmm-large":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3.png",290,290,false],"cvmm-small":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3-130x95.png",130,95,true],"full":["https:\/\/reach.ircam.fr\/wp-content\/uploads\/2024\/07\/MathsMusique_Vignette_couleurs_3.png",290,290,false]},"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2045","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/users\/2"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/comments?post=2045"}],"version-history":[{"count":7,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2045\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":2087,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/posts\/2045\/revisions\/2087"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media\/2047"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/media?parent=2045"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/categories?post=2045"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/reach.ircam.fr\/index.php\/wp-json\/wp\/v2\/tags?post=2045"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}