Maths & Musique #3 : Musique, combinatoire des mots et improvisation par ordinateur, par Marc Chemillier

Beaucoup plus proche de nous, Joseph Fourier (1768-1830) jette les bases de l’analyse harmonique en étudiant certains signaux périodiques tels que les ondes sonores. Au XX^e siècle, le développement de l’informatique a introduit un champ complètement nouveau d’étude mathématique de la musique avec des concepts très puissants, tels que ceux de la combinatoire des mots dont nous allons parler ici. Ces derniers permettent de concevoir des logiciels musicaux modifiant radicalement notre manière de faire de la musique.

En informatique théorique, on étudie des suites de symboles appelées des mots sur un alphabet. Il s’agit de symboles abstraits qui peuvent être des actions à exécuter dans un programme quand il s’agit d’informatique, mais aussi des notes de musique ou tout autre objet selon le domaine d’application étudié. Ce concept est bien adapté à la description de la succession d’événements à l’intérieur d’une séquence musicale, de même qu’il l’est pour décrire et contrôler l’enchaînement d’unités syntaxiques d’une langue dans une perspective de linguistique computationnelle.

Lorsque l’on s’intéresse à des séquences de symboles, l’une des choses les plus simples que l’on puisse envisager est la répétition d’éléments dans la séquence. Par exemple, un « carré » est la répétition d’un motif énoncé deux fois consécutivement comme (abc)(abc). Peut-on construire une séquence avec un alphabet à deux lettres a et b qui ne contienne aucun carré ? On commence par placer un a. On ne peut pas en placer un deuxième car on aurait le carré (a)(a), donc on place un b pour former ab. Ensuite, on est obligé de placer un a pour former aba, sinon on aurait le carré (b)(b). On ne peut pas prolonger aba car si on place un a on fait apparaître le carré (a)(a), et si on place un b, on fait apparaître le carré (ab)(ab). On vient de prouver qu’il est impossible de construire un mot sans carré si l’alphabet n’a que deux lettres. En revanche, cela est possible dès que l’alphabet a au moins trois lettres. Avec deux lettres, on peut construire des mots sans cube (c’est-à-dire sans motif énoncé trois fois consécutivement). Le mathématicien norvégien Axel Thue (1863-1922) en a découvert un qui se prolonge à l’infini. Il le décrit dans un article de 1912 considéré comme le fondement de la combinatoire des mots avec un autre article de lui datant de 1906.

En musique, quand on fait se succéder une à une toutes les notes disponibles, en montant ou en descendant, on obtient ce que l’on appelle une gamme. Par exemple, la succession des touches blanches du piano est la gamme diatonique (partant de la note do). Elle a des propriétés mathématiques très particulières, liées au fait que les touches noires qui séparent les touches blanches sont placées de façon irrégulière, deux d’un côté et trois de l’autre. En effet, si l’on considère les intervalles entre les touches blanches, on a deux demi-tons entre do et ré, puis deux demi-tons entre ré et mi, mais seulement un demi-ton entre mi et fa. Sur l’ensemble des touches blanches du clavier, on obtient la séquence d’intervalles 2212221 qui est un mot sur l’alphabet à deux symboles 1 et 2. Ce mot a la propriété remarquable suivante : il existe une rotation 2221221 qui est palindrome si l’on enlève ses deux symboles initial et final 2(22122)1. En effet, le motif entre parenthèses 22122 donne la même succession de chiffres dans un sens ou dans l’autre.

Ce qui est encore plus surprenant, c’est qu’on obtient une propriété similaire en prenant les touches complémentaires, c’est-à-dire celles qui sont noires. La suite d’intervalles de la gamme correspondante appelée pentatonique est le mot 23223 sur l’alphabet 2 et 3. Là encore, il existe une rotation 22323 qui est palindrome, exceptés les premier et dernier symboles 2(232)3. Mais ce n’est pas tout : le même phénomène s’observe également dans le rythme. Vous connaissez sans doute la chanson « Djadja » d’Aya Nakamura. Elle est fondée sur un rythme appelé reggaeton très courant dans les musiques populaires actuelles qui peut s’écrire 332 (deux croches pointées suivies d’une croche). C’est aussi le rythme du rap « Bande organisée ». Il vient d’une famille de rythmes africains asymétriques qui ont été étudiés par l’ethnomusicologue Simha Arom 332, 32322, 3223222, etc. Qu’y a-t-il de commun entre ces différents rythmes ? Ils s’écrivent tous 32ⁿ32ⁿ⁺¹ si l’on note 2ⁿ la suite de 2 répétés n fois. Ils contiennent un très long carré (32ⁿ)(32ⁿ), mais leur répartition est asymétrique car on a un 2 en plus à droite qui prolonge la deuxième occurrence du carré. Tous ces mots sont palindromes quand on enlève les deux symboles aux extrémités 3(2ⁿ32ⁿ)2.

En mathématique, ces rythmes ou ces gammes sont en relation avec ce qu’on appelle des mots de Christoffel en l’honneur du mathématicien Elwin Christoffel (1829-1900) qui les a étudiés pour la première fois dans un article de 1875 où il observe leur caractère palindrome. Il est étonnant de retrouver ces séquences dans des domaines aussi variés que les gammes occidentales ou les rythmes africains, d’autant plus que ces derniers relèvent d’une tradition strictement orale. L’étude de telles structures échappant à l’écriture est le sujet de recherches en ethnomathématique. Deux approches s’opposent dans ce domaine. L’une, issue du courant appelé décolonisation des savoirs, considère qu’on ne peut pas rapprocher ces structures de celles de la tradition écrite parce qu’elles apparaissent dans des contextes trop différents. L’autre plus universaliste considère que ce sont bien les mêmes structures qui apparaissent parce que les principes combinatoires sur lesquels elles sont fondées sont les mêmes, qu’il s’agisse d’alternance d’intervalles dans la gamme, ou de durées dans les rythmes. C’est ce deuxième point de vue qui est adopté dans le présent article.